問題の式は、\(\displaystyle \frac {1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{7}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d} = 1 \cdots (1) \)と表されます。
ここで、\(a,b,c,d\)は整数で、\(2 \leq a \leq b \lt 7 \lt c \leq d \lt 30 \cdots (2)\) です。
\((1)\)の両辺に\(7abcd\)をかけると、
\(7bcd+7acd+abcd+7abd+7abc=7abcd\)となり、\(abcd\)が7の倍数であることが分かります。
\((2)\)から\(a,b\)は7の倍数ではないので、\(c,d\)のうち少なくとも一つは
7の倍数であることが分かります。いま、\(c\)が7の倍数であるとすると、\(c=7c’\)と置くことができます。
ここで、\(c’\)は2以上の整数です。
すると、\((1)\)式は、\(49bc’d+49ac’d+7abc’d+7abd+49abc’=49abc’d\)
すなわち、\(7bc’d+7ac’d+abc’d+abd+7abc’=7abc’d \cdots (3) \)から
\(abc’d+abd\)が7の倍数であることが分かります。これは\(abd(c’+1)\)であり、\((2)\)から
\(c’\)が4以下であることがいえるので、\(c’+1\)が7の倍数であることはなく、したがって、\(abd\)が7の倍数であることが分かります。
\((2)\)から\(a,b\)は7の倍数ではないので、\(d\)が7の倍数であることがいえて、
\(d=7d’\)と置けます。ここで、\(d’\)は\(c’\)以上4以下の整数です。
\((3)\)に\(d=7d’\)を代入すると、\(49bc’d’+49ac’d’+7abc’d’+7abd’+7abc’=49abc’d’\)
すなわち、\(7bc’d’+7ac’d’+abc’d’+abd’+abc’=7abc’d’\)で、ここから、\(ab(c’d’+d’+c’)\)が7の倍数であることが分かります。
\((3)\)から\(c’d’+d’+c’\)が7の倍数であり、\(c’,d’\)は2以上4以下であることから、
\((c’,d’)=(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)\)の6通りのうち、\((c’,d’)=(2,4)\)だけが適するということが分かります。
したがって、\(c=14,d=28\)です。
\((1)\)に\(c=14,d=28\)を代入して、\(\displaystyle \frac {1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{7}+\frac{1}{14}+\frac{1}{28} = 1 \)
すなわち、\(\displaystyle \frac {1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{21}{28}\)
よって、\(a+b=\displaystyle \frac{3}{4}ab \cdots (4)\)で、\(2 \leq a \leq b \leq 6\)だから、まず、\(ab\)が4の倍数
になることに注意して絞り込むと、\((a,b)=(2,2),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6)\)で、\((4)\)に適するのは、
\((a,b)=(2,4)\)だけであるといえます。よって、\((a,b,c,d)=(2,4,14,28)\)で、\(a+b+c+d=48\)となります。